古朱的字纸篓

X⁴+Y⁴+（X+Y）⁴

这是我遇到过的因式分解最难的题目之一。虽然题目后面有个提示：可以用配方法，原式=(x²+y²) ²-2x²y²+(x+y) ⁴，但还是觉得无从下手，百思不得其解。

愚者千虑终有一得。

几天后，下了班升了井正泡在澡堂子洗澡，突然一个灵感来了：把那个-2x²y²一分为二，分别与另两项组合，可以利用平方差公式。赶忙穿好衣服跑回宿舍找来纸笔演算起来，果然：

原式=(x²+y²) ²-2x²y²+(x+y) ⁴

 =(x²+y²) ²-x²y²+(x+y) ⁴-x²y²

=[(x²+y²) +xy] [(x²+y²) -xy]+[(x+y)²+xy] [(x+y) ²-xy]

=[x²+y²+xy] [x²+y²-xy]+[(x+y) ²+xy] [(x+y)²-xy]

做到这一步时，很容易可以看出有公因式（x²+y²+xy），提取公因式后化简，本题就得解了：

=（x²+y²+xy）（x²+y²-xy+ x²+y²+3xy）

=（x²+y²+xy）（2x²+2y²+2xy）

=2（x²+y²+xy) ² 

拿去与书后的标准答案一对比，完全正确，高兴透了！

后来我从一本数学参考书上看到此题，书上提供的解法是利用了一系列的配方，很巧妙，比如将(x²+y²) ²+(x+y) ⁴配成[x²+y²+ (x+y)²]²-2(x²+y²) (x+y)²。然后再将x²+y²再配平方，真有点复杂，看得眼花缭乱，但是如果能熟练的做出此题的话，用配完全平方分解因式应该是掌握得没问题了。

其实不考虑题后的提示，直接将原式完全展开来后，再分组进行因式分解也是可以的，分组分解时复杂了一点：

原式＝2x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+2y⁴

=2[(x⁴+2x²y²+y⁴)+2(x³y+xy³)+x²y²]

=2[(x²+y²) ²+2xy(x²+y²)+(xy) ²]

=2(x²+xy+y²) ²。

因式分解和代数式四则运算一样，都属于数学中的恒等变形，是学好数学的基础，不仅如此，对理化各科的学习也大有帮助。当我知道这个道理时，早已过了而立之年了。